Анне Вески родилась в Рапла, Эстонская ССР. Там же она окончила музыкальную школу, после которой поступила в Таллинский Политехнический институт. По окончании обучения была принята на работу в эстрадную студию при филармонии, где стала выступать с ансамблем «Мобиле».

Первая эстрадная композиция (1980) — «Королева розового сада».

Сольную карьеру Анне начинает в 1984, организовав ансамбль «Немо». В 1984 году на международном музыкальном фестивале в Сопоте Анне Вески получила две премии: за песню Позади крутой поворот и за лучшее исполнение польской песни Полька. В 1986 году впервые выходит в финал фестиваля «Песня года».

Исполнительница песен «Милый, горячо любимый» (1994), «Возьми меня с собой» (1981), «Радоваться жизни» (1985).

В начале 1990-х совместно с В. Довганем организовала пошив одежды из меха в Эстонии для продажи в Таллине и Москве.

Замужем вторым браком за Бенно Бельчиковым, который является её администратором. Её дочь от первого распавшегося брака — дипломат, была консулом Эстонской Республики в Москве. Первый муж Анне Вески умер.